Introduction à la géométrie projective (French Edition)

Ce livre est une invitation au voyage dans l’espace de la géométrie projective où deux droites parallèles se coupent toujours en un point, sauf si elles sont confondues, et où les points de la droite à l’infini peuvent être imaginés comme des directions de droites affines. Si le discours est rigoureux et nécessite de connaître les bases de l’algèbre linéaire et un peu de géométrie classique, l’accent est mis sur l’interprétation des objets que l’on construit et sur l’exploitation de ceux-ci pour permettre de démontrer facilement deux jolis résultats : les théorèmes de Pappus et de Desargues. Ou comment comprendre pourquoi l’emploi de coordonnées homogènes permet d’éviter de devoir traiter de nombreux et fastidieux cas de figure. Ce livre est accessible à tout lecteur curieux qui possède une licence de mathématiques. Il intéressera les candidats à l'agrégation qui voudraient rapidement comprendre ce qu'est un espace projectif et comment on peut l'utiliser pour démontrer des résultats de géométrie comme les théorèmes de Pappus et de Desargues sans avoir à envisager tous les nombreux cas de figures possibles. Un exemple d'utilisation de ces espaces et des coordonnées homogènes est en outre proposé dans le dernier chapitre à l'occasion d'un exercice de géométrie de première S. Le lecteur pressé ou désireux d'aller droit au but pourra, dans un premier temps, se contenter de parcourir les chapitres 1, 2, 4 et 5 pour se faire une idée précise de l'utilisation du plan projectif en géométrie. Le chapitre sur la dualité montre comment on peut déduire mécaniquement des énoncés de théorèmes à partir de résultats déjà connus. Les chapitres sur la topologie d'un espace projectif et sur les homographies, permettent d'utiliser nos définitions toutes fraîches pour ouvrir des horizons. Cette visite d’une géométrie étonnante sera l’occasion de prendre du recul et nous permettre de : - mettre en œuvre des résultats vectoriels classiques, - compléter une culture mathématique générale, - mieux comprendre deux jolis théorèmes dans des environnements géométriques différents. Les deux jolis théorèmes d'alignement que sont les résultats de Pappus et de Desargues n'ont rien perdu de leur fraîcheur malgré les siècles…