Agrégation interne 2014 - Composition 1 de mathématiques (French Edition)

Voici l'énoncé et une correction détaillée de la première composition de l'agrégation interne 2014, suivis de nombreux compléments. Si ce sujet 2014 ne peut pas être considéré comme facile, il est intéressant à double titre : - D'abord parce qu'il nous amène à travailler dans des espaces euclidiens et hermitiens, utiliser des exponentielles de matrices, rechercher des orbites sous certaines actions et parler des groupes SL_{n}(R), SO_{n}(R) ou SU_{n}(C). Ce ne sont pas des thèmes que l'on rencontre souvent quand on prépare le concours interne, mais il est utile de les réviser pour préparer les prochaines épreuves, et ce problème nous en donne l'occasion rêvée. - Ensuite il permet de nous confronter à des questions de niveaux très disparates sans que l'on puisse du premier abord faire le tri entre les questions d'accès facile et celles auxquelles il sera impossible de répondre. S'entraîner sur ce problème consistera aussi à sauter certaines questions infaisables (ce qui revient à lire et comprendre la solution proposée pour ne pas perdre un temps précieux) et suivre les pistes qui se présentent quand la question est abordable, en se remémorant son cours (et en revisitant les compléments proposés ici). De longs compléments de cours, souvent présentés sous forme d'exercices corrigés supplémentaires, ont été ajoutés après la correction. A la convenance du lecteur, ces compléments pourront être consultés au moment où l'on s'entraîne sur le problème, ou travaillés avant d'aborder celui-ci. Dans le dernier chapitre des compléments, on trouvera une analyse d'impact des questions avec un diagramme qui classe celles-ci suivant trois types : Type A --- Questions classiques de cours ou de réinvestissement direct du cours. Ces questions peuvent être régulièrement posées en concours et on a déjà pu en travailler quelques-unes auparavant. Ce sont des questions qu'il faut réussir, si possible, et sans perdre de temps. Ces questions sont à travailler en priorité. Type B --- Questions plus difficiles où l'on n'est pas certains d'aboutir mais où l'on a des chances de le faire en suivant certaines pistes. On peut les réussir comme on peut devoir les laisser de côté au bout d'un certain temps. Type C --- Questions infaisables même si l'on est suffisamment préparé. Ce sont des questions difficiles pour des raisons diverses : le sujet est trop pointu, on ne connaît pas le cours correspondant, l'énoncé ne propose pas suffisamment de questions intermédiaires pour suivre une piste qui devrait aboutir, ou encore on n'a pas le temps de voir comment utiliser les résultats déjà démontrés. Le sujet qui suit comporte 18 questions de type A, 7 questions de type B et 20 questions difficiles de type C. En 6 heures d'épreuve, on peut estimer avoir réussi le problème si l'on a traité 14 questions sur 45, soit un peu moins du tiers du problème.